Question

20．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥a}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，x＜a}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若a＞1，讨论f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）若a=1，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥1\\{e}^{x-1}-x，x＜1\end{array}\right.$．f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x-\frac{2}{x}，x≥1\\{e}^{x-1}-1，x＜1\end{array}\right.$，分析函数的单调性，可得当x=1时，函数f（x）取最小值0；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥a}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，x＜a}\end{array}\right.$．f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}2ax-\frac{2}{x}，x≥a\\{e}^{x-1}+a-2，x＜a\end{array}\right.$，求出函数的最小值，分析最小值的符号，可得答案．

解答 解：（1）若a=1，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥1\\{e}^{x-1}-x，x＜1\end{array}\right.$．
f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x-\frac{2}{x}，x≥1\\{e}^{x-1}-1，x＜1\end{array}\right.$，
当x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数；
当x≥1时，f′（x）≥0，函数为增函数；
故当x=1时，函数f（x）取最小值0；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥a}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，x＜a}\end{array}\right.$．
f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}2ax-\frac{2}{x}，x≥a\\{e}^{x-1}+a-2，x＜a\end{array}\right.$，
当x＜a时，f′（x）＜0，函数为减函数；
当x≥a时，f′（x）≥0，函数为增函数；
故当x=a时，函数f（x）取最小值a³-a-2lna，
∵a＞1，∴a³-a-2lna＞0，
故函数f（x）不存在零点．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，难度中档．