Question

设(2x+

1

2

)11-(3x+

1

3

)11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则|a_k|（0≤k≤11）的最小值为（　　）

• A、

  1

  211

  -

  1

  311

• B、

  1

  211

  +

  1

  311

• C、

  1

  210

  -

  1

  310

• D、

  1

  210

  +

  1

  310

Answer 1

分析：本题主要考查了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题．根据已知中T₂=0，T₃=

1

23

-

1

33

，T₄=0，T₅=

1

25

-

1

35

，及，（2x+

1

2

）ⁿ-（3x+

1

3

）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，将|a_k|（0≤k≤n）的最小值记为T_n，我们易得，当n的取值为偶数时的规律，再进一步分析，n为奇数时，Tn的值与n的关系，综合便可给出Tn的表达式．从而求出结果．

解答：解：设n≥2，n∈N，（2x+

1

2

）ⁿ-（3x+

1

3

）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，将|a_k|（0≤k≤n）的最小值记为T_n，根据Tn的定义，列出Tn的前几项：
T₀=0
T₁=

1

6

=

1

2

-

1

3

T₂=0
T₃=

1

23

-

1

33

T₄=0
T₅=

1

25

-

1

35

T₆=0
…
由此规律，我们可以推断：T_n=

0            n为偶数 1 2n - 1 3n ，n为奇数

故但n=11时，|a_k|（0≤k≤11）的最小值为

1

211

-

1

311

，
故选A．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．属中档题．