Question

对任意实数x，不等式|x-

5

2

|-a²＞

1

2

（4a-|2x+1|）恒成立，则实数a的取值范围是

[-3，1]

．

Answer 1

分析：由题设知|x-

5

2

|-

1

2

|2x+1|＞a²+2a．由x-

5

2

=0，得x=

5

2

；由2x+1=0，得x=-

1

2

．①当x≥

5

2

时，a²+2a+3＜0，a∈∅；当-

1

2

≤x＜

5

2

时，a²+2a≤3，解得-3≤a≤1；当a＜-

1

2

时，a²+2a＜3，解得-3＜a＜1．综上所述-3≤a≤1．

解答：解：∵对任意实数x，不等式|x-

5

2

|-a²＞

1

2

（4a-|2x+1|）恒成立，
∴|x-

5

2

|-

1

2

|2x+1|＞a²+2a，（*）
由x-

5

2

=0，得x=

5

2

；由2x+1=0，得x=-

1

2

．
①当x≥

5

2

时，由（*）式，得x-

5

2

-x-

1

2

＞a2+2a，
即a²+2a+3＜0，
∴a∈∅；
②当-

1

2

≤x＜

5

2

时，由（*）式，得

5

2

-x-x-

1

2

＞a²+2a，
即a²+2a＜2-2x，
∵-

1

2

≤x＜

5

2

，∴-3＜2-2x≤3，
∴a²+2a≤3，
解得-3≤a≤1；
③当a＜-

1

2

时，
由（*）式，得x-

5

2

+x+

1

2

＞a2+2a，
即a²+2a＜3，
解得-3＜a＜1．
综上所述，-3≤a≤1．
故答案为：[-3，1]．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，注意函数恒成立的灵活运用．