已知P为双曲线$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1右支上的动点.M为圆(x+5)2+y2=1上动点.N为圆(x-5)2+y2=4上的动点.则|PM|-|PN|的最小值.最大值分别为( )A．4.8B．3.9C．2.10D．1.11 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．已知P为双曲线$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1右支上的动点，M为圆（x+5）²+y²=1上动点，N为圆（x-5）²+y²=4上的动点，则|PM|-|PN|的最小值、最大值分别为（　　）

A．

4、8

B．

3、9

C．

2、10

D．

1、11

分析由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最小值和最大值．

解答解：双曲线$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1的两个焦点分别是F₁（-5，0）与F₂（5，0），
则这两点正好是两圆（x+5）²+y²=1和（x-5）²+y²=4的圆心，半径分别是r₁=1，r₂=2，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|PM|_min=|PF₁|-1，|PN|_max=|PF₂|+2，
∴|PM|_max=|PF₁|+1，|PN|_min=|PF₂|-2，
∴|PM|-|PN|的最小值=（|PF₁|-1）-（|PF₂|+2）=6-3=3，
PM|-|PN|的最大值=（|PF₁|+1）-（|PF₂|-2）=6+3=9，
|PM|-|PN|的最小值、最大值分别3，9，
故选B．

点评本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系，着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用，以及对几何图形的认识能力，属于中档题．

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