Question

已知多面体ABCDFE中， 四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD， O、M分别为AB、FC的中点，且AB = 2，AD = EF = 1.

（1）求证：AF⊥平面FBC；

（2）求证：OM∥平面DAF；

（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD，VF-CBE，求VF-ABCD∶VF-CBE 的值.

 

Answer 1

（1）（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）要证,则需要证明与平面内的两条相交直线垂直,而根据题意已知,故只需再根据题意平面⊥平面,可证,从而证明,则可证明结论.

（2）要证∥平面,则需要在平面内找一条直线与平行,根据点都是中点的特点, 取中点,证明四边形为平行四边形,即有∥,则可证明结论.

（3）要求体积比,首先得找到体积,根据题意可知,分割后形成了两个棱锥,一个四棱锥,一个三棱锥;根据棱锥的体积公式,得找到底面积和高,而其中四棱锥的底面和高比较容易确定,而三棱锥中关键是确定底面和高,确定的依据就是是否有现成的线面垂直,显然,所以确定底面为高.最后分别求体积做比值即可.

试题解析：（1）平面⊥平面 ，平面平面,

平面，而四边形为矩形,

. 平面

则,

（2）取中点，连接，则∥，且，又四边形为矩形，

∥，且 四边形为平行四边形，∥

又平面，平面 ∥平面

（3）过作于 ，由题意可得：平面.

所以:.

因为平面, 所以

所以

考点：面面垂直,线面垂直,线线垂直;线面平行的判定;棱锥体积转化及计算.