Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos40°，sin40°），$\overrightarrow{b}$=（sin20°，cos20°），$\overrightarrow{u}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$（其中λ∈R），则|$\overrightarrow{u}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出$\overline{μ}$=（$\sqrt{3}cos40°+λsin20°$，$\sqrt{3}sin40°+λcos20°$），从而|$\overrightarrow{μ}$|=$\sqrt{（\sqrt{3}cos40°+λsin20°）^{2}+（\sqrt{3}sin40°+λcos20°）^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+3λ+3}$，再利用配方法能求出当$λ=-\frac{3}{2}$时，|$\overrightarrow{u}$|取最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos40°，sin40°），$\overrightarrow{b}$=（sin20°，cos20°），$\overrightarrow{u}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$（其中λ∈R），
∴$\overline{μ}$=（$\sqrt{3}cos40°$，$\sqrt{3}sin40°$）+（λsin20°，λcos20°）=（$\sqrt{3}cos40°+λsin20°$，$\sqrt{3}sin40°+λcos20°$），
∴|$\overrightarrow{μ}$|=$\sqrt{（\sqrt{3}cos40°+λsin20°）^{2}+（\sqrt{3}sin40°+λcos20°）^{2}}$
=$\sqrt{3+{λ}^{2}+2\sqrt{3}λsin60°}$
=$\sqrt{{λ}^{2}+3λ+3}$
=$\sqrt{（λ+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∴当$λ=-\frac{3}{2}$时，|$\overrightarrow{u}$|取最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查向量的模的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则、三角函数性质、配方法的合理运用．