Question

2．设函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期是$\frac{2π}{3}$，
（1）求ω；
（2）当x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]时，求函数y=f（x）的值域．
（3）求方程f（x）=a（0＜a＜1），在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值．
（2）由条件利用定义域和值域，求得f（x）值域．
（3）利用正弦函数的图象的对称性、周期性，求得在[0，2π]内的所有实数根之和．

解答 解：（1）由T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，求得ω=3．
（2）由（1）得$f（x）=sin（3x-\frac{π}{4}）（ω＞0）$，因为$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，所以$（3x-\frac{π}{4}）∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]$，
由正弦函数的性质得：sin（3x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，所以f（x）值域为：$[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]$．
（3）∵$f（x）=sin（3x-\frac{π}{4}）$的周期为$\frac{2}{3}π$，∴$y=sin（3x-\frac{π}{4}）$在[0，2π]内恰有3个周期，
∴$sin（3x-\frac{π}{4}）=a（0＜a＜1）$在[0，2π]内有6个实根．
$由sin（3x-\frac{π}{4}）=1，得x=\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}，（k∈Z）$，令k=0，1，2，分别得$x=\frac{π}{4}，\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}$，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{π}{2}$，${x_3}+{x_4}=\frac{11}{6}π，{x_5}+{x_6}=\frac{19}{6}π$，
故所有实数之和为$\frac{π}{2}+\frac{11π}{6}+\frac{19π}{6}=\frac{11π}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．