Question

17．若数列{a_n}满足：对任意的n∈N^*，只有有限个正整数m使得a_m＜n成立，记这样的m的个数为Y（a_n），得到数列{Y（a_n）}．例如，若数列{a_n}是1，2，3…，n，…时，{Y（a_n）}是0，1，2，…n-1，…现对任意的n∈N^*，a_n=n²，则Y（a₂）=1，因为满足m²＜2成立，只有m=1，故Y（a₂）=1．
（1）求Y（a₆），Y（Y（a_n））（不用证明）
（2）若f（n）=$\frac{2n}{Y（Y（{a}_{n}））+10}$，求f（n）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，若a_m＜6，而a_n=n²，知m=1，2，Y（a₆）=2，由题设条件可知Y（（a₁））=1，Y（（a₂））=4，Y（（a₃））=9，Y（（a₄））=16，于是猜想：Y（（a_n））=n²；
（2）由（1）可知求得f（n）=$\frac{2n}{{n}^{2}+10}$=$\frac{2}{n+\frac{10}{n}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{n×\frac{10}{n}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，n为正整数，分别求得f（3）及f（4）比较，即可求得f（n）的最大值．

解答 解：（1）∵a_m＜6，而a_n=n²，
∴m=1，2，
∴Y（a₆）=2．
∵Y（a₁）=0，Y（a₂）=1，Y（a₃）=1，Y（a₄）=1，
Y（a₅）=2，Y（a₆）=2，Y（a₇）=2，Y（a₈）=2，Y（a₉）=2，
Y（a₁₀）=3，Y（a₁₁）=3，Y（a₁₂）=3，Y（a₁₃）=3，Y（a₁₄）=3，Y（a₁₅）=3，Y（a₁₆）=3，
∴Y（Y（a₁））=1，Y（（a₂））=4，Y（（a₃））=9，Y（（a₄））=16，
猜想：Y（Y（a_n））=n²．
（2）f（n）=$\frac{2n}{Y（Y（{a}_{n}））+10}$=$\frac{2n}{{n}^{2}+10}$=，n为正整数，
∴f（n）=$\frac{2}{n+\frac{10}{n}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{n×\frac{10}{n}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
当且仅当n=$\frac{10}{n}$，即n=$\sqrt{10}$时取最大值，
∵n为正整数，
∴当n=3时，f（3）=$\frac{6}{19}$，当n=4时，f（4）=$\frac{4}{13}$，
f（3）＞f（4），
故n=3时，取最大值，最大值为=$\frac{6}{19}$．

点评 本题考查数列的性质和应用，基本不等式的性质，考查归纳推理能力，属于中档题．