Question

9．已知函数f（x）=$\frac{x}{e^x}$+x²-x（其中e=2.71828…）．
（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）已知函数g（x）=-aln[f（x）-x²+x]-$\frac{1}{x}$-lnx-a+1，若x≥1，则g（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）由题意得f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$+2x-1，f（1）=$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为f'（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为$y-\frac{1}{e}=x-1$，
即ex-ey-e+1=0．
（2）由题意知函数，$g（x）=-（{a+1}）lnx+ax-\frac{1}{x}-a+1$，
所以$g'（x）=-\frac{a+1}{x}+a+\frac{1}{x^2}=\frac{{a{x^2}-（{a+1}）x+1}}{x^2}=\frac{{（{ax-1}）（{x-1}）}}{x^2}$，
①若a≤0，当x≥1时，g'（x）≤0，
所以g（x）在[1，+∞）上是减函数，故g（x）≤g（1）=0；
②若0＜a＜1，则$\frac{1}{a}＞1$，当$1＜x＜\frac{1}{a}$时，g'（x）＜0，当$x＞\frac{1}{a}$时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上是减函数，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是增函数；
故当$1＜x＜\frac{1}{a}$时，g（x）＜g（1）=0；
③若a≥1，则$0＜\frac{1}{a}≤1$，当x≥1时，g'（x）≥0，
所以g（x）在[1，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（1）=0；
所以实数a的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．