Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²-a²x+$\frac{1}{2}$a（a≥0）．
（1）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入a值，配方，利用二次函数的性质求出函数的最大值；
（2）二次函数配方，由题意可知，函数的对称轴大于或等于零，则必须使函数的最小值大于零．

解答 解：（1）a=1，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x²-x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴函数f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{3}$x²-a²x+$\frac{1}{2}$a
=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3{a}^{2}}{3}$）²-$\frac{3{a}^{4}}{4}$$+\frac{1}{2}a$，若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，
∴-$\frac{3{a}^{4}}{4}$$+\frac{1}{2}a$＞0，
∴0≤a＜$\frac{\root{3}{18}}{3}$．

点评 考查了二次函数的单调性和利用单调性解决实际问题．