Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=

5 4 sin( π 2 x)(0≤x≤1) ( 1 4 )x+1(x＞1)

，若关于x的方程5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、0＜a＜1或a=

  5

  4

• B、0≤a≤1或a=

  5

  4

• C、0＜a≤1或a=

  5

  4

• D、1＜a≤

  5

  4

  或a=0

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,根的存在性及根的个数判断,分段函数的应用

专题：数形结合,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：运用偶函数的定义可得f（x）在x＜0的解析式，作出函数f（x）的图象，由5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0，解得f（x）=a或f（x）=

6

5

，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a的情况，即可得到a的范围．

解答： 解：函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，
当x≥0时，f（x）=

5 4 sin( π 2 x)(0≤x≤1) ( 1 4 )x+1(x＞1)

，
当x＜0时，f（x）=

- 5 4 sin( π 2 x)，-1≤x≤0 4x，x＜-1

．
作出函数f（x）的图象如右．
由于关于x的方程5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0，
解得f（x）=a或f（x）=

6

5

，
当0≤x≤1时，f（x）∈[0，

5

4

]，x＞1时，f（x）∈（1，

5

4

）．
由1＜

6

5

＜

5

4

，则f（x）=

6

5

有4个实根，
由题意，只要f（x）=a有2个实根，
则由图象可得当0＜a≤1时，f（x）=a有2个实根，
当a=

5

4

时，f（x）=a有2个实根．
综上可得：0＜a≤1或a=

5

4

．
故选：C．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．