Question

19．已知f（x）=ax²-lnx，设曲线y=f（x）在x=t（0＜t＜2）处的切线为l．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=-$\frac{1}{8}$时，证明：当x∈（0，2）时，曲线y=f（x）与l有且仅有一个公共点．

Answer 1

分析 （1）求解定义域为：（0，+∞），由f（x）=ax²-lnx，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，利用不等式，分类讨论判断单调性；
（2）确定切线方程为：y=f′（t）（x-t）+f（t），构造函数设g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，求解导数g′（x）=-$-\frac{1}{4}$x$-\frac{1}{x}$-f′（t），判断单调性，求解得出极值，当x∈（0，t）或（t，2），g（x）＞g（t）=0，得出所证明的结论．

解答 解；（1）f（x）的定义域为：（0，+∞）
由f（x）=ax²-lnx，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，
①若a≤0，则f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$＜0，
②若a＞0，则f2ax-$\frac{1}{x}$=0，解得x=$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，
则当x∈（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上单调递减，
当x∈（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）上单调递增．，
（2）当a=-$\frac{1}{8}$时，f（x）=$\frac{1}{8}$x²-lnx，f′（x）=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$，
∴切线方程为：y=f′（t）（x-t）+f（t），
设g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，∴g（t）=0，g′（t）=0，
设h（x）=g′（x）=-$-\frac{1}{4}$x$-\frac{1}{x}$-f′（t），则当x∈（0，2）时，h′（x）=-$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g′（x）在（0，2）上是增函数，且g′（t）=0，
∴当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）上是减函数
当x∈（t，2）时，g′（x）＞0，g（x）在（t，2）上是增函数，
故当x∈（0，t）或（t，2），g（x）＞g（t）=0，
∴当且仅当x=t时，f（x）=f′（t）（x-t）+f（t），
即当x∈（0，2），曲线y=f（x）与l有且仅有一个公共点．，

点评 本题考查导数知识的运用，函数的单调性与极值，分类讨论的数学思想，学生分析解决综合问题的能力，属于中档题．