Question

17．已知α、β∈（0，π），且sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，$tan\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求sinα、cosα的值；
（2）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）、α+β∈（$\frac{5π}{6}$，π），从而求得cos（α+β）、sinα、cosα的值．
（2）利用两角和差的余弦公式，求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：（1）∵α、β∈（0，π），∵$tan\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{4}{3}$＞1，∴α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）．
∵sin（α+β）=$\frac{5}{13}$＜$\frac{1}{2}$，∴sinα＞sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，
∴α+β∈（$\frac{5π}{6}$，π），cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{12}{13}$．
∴sinα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1{+tan}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{1{-tan}^{2}\frac{α}{2}}{1{+tan}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（2）cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-$\frac{12}{13}$•$\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}$•$\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基中档题．