Question

7．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x-2y=0上，且被x轴的正半轴截得的弦长为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点（x，y）在圆C上，求x+2y的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆心（2m，m），半径为r（m＞0，r＞0），由已知条件列出方程组，求出m=1，r=2，由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）设x+2y=t，由题意得直线x+2y=t与圆C相交或相切，当t=x+2y取最大值时，直线x+2y-t=0与圆相切，由此能求出x+2y的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设圆心（2m，m），半径为r（m＞0，r＞0），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{r=2m}\\{（\sqrt{3}）^{2}+{m}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，解得m=1，r=2，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．
（Ⅱ）设x+2y=t，
由题意得直线x+2y=t与圆C相交或相切，
当t=x+2y取最大值时，直线x+2y-t=0与圆相切，
∴圆心（2，1）到直线x+2y=t的距离d满足：
d=$\frac{|2+2-t|}{\sqrt{5}}$=2，
解得t=4-2$\sqrt{5}$或t=4+2$\sqrt{5}$．
∴x+2y的最大值为4+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查代数式的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．