Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=

20

3

，bsinA=4．
（Ⅰ）求cosB和边长a；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求cos4C的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由正弦定理求出asinB的值，然后利用弦切互化关系结合已知条件即可求出cosB，再由cosB求得sinB、tanB，则求得a；
（Ⅱ）先由三角形面积公式求出c，则可得A=C，再利用余弦定理把cos4C用A+C的三角函数表示，进而用B的三角函数表示，则问题解决．

解答：解：（Ⅰ）因为

a

sinA

=

b

sinB

，所以asinB=bsinA=4，
又atanB=

20

3

，即

asinB

cosB

= 

20

3

，
所以cosB=

3

5

；
则sinB=

4

5

，tanB=

4

3

，
所以a=

20

3

×

3

4

=5．
（Ⅱ）由S=

1

2

acsinB=

1

2

×4c=10，得c=5．
又a=5，所以A=C．
所以cos4C=2cos²2C-1
=2cos²（A+C）-1
=2cos²B-1
=2×(

3

5

)2-1
=-

7

25

．

点评：本题主要考查正弦定理、弦切互化关系及余弦的倍角公式．