Question

6．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左、右焦点分别是P和Q，以P为圆心，以3为半径的圆与以Q为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C₁上．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+2}$=1的左、右焦点分别为F₁和F₂，若动直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆C₂有且仅有一个公共点，且F₁M⊥l于M，F₂N⊥l于N，设S为四边形F₁MNF₂的面积，请求出S的最大值，并说明此时直线l的位置；若S无最大值，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x²+4y²=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d₁=|F₁M|，d₂=|F₂N|．当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F₁MNF₂面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，|PF₁|+|PF₂=|2a=4，可得a=2，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-c²=b²，
可得b=1，即有椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x²+4y²=12中，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．                
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化简得：m²=4k²+3．                          
设d₁=|F₁M|=$\frac{|-k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，d₂=|F₂M|=$\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，
则|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{k}$•|d₁-d₂|•（d₁+d₂）=$\frac{2|m|}{{k}^{2}+1}$=$\frac{8}{|m|+\frac{1}{|m|}}$，
∵m²=4k²+3，∴当k≠0时，|m|＞$\sqrt{3}$，
∴|m|+$\frac{1}{|m|}$$＞\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S＜2$\sqrt{3}$．
当k=0时，四边形F₁MNF₂是矩形，S=2$\sqrt{3}$．   
所以四边形F₁MNF₂面积S的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．