Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．

Answer 1

　(1)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、B(，0,0)、C(，1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0，，1)，从而＝(，1,0)，＝(，0，－2)．

设的夹角为θ，

则cosθ＝＝，

∴AC与PB所成角的余弦值为.

(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0，z)，

则＝(－x，，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，

化简得

即N点的坐标为(，0,1)，

从而N点到AB和AP的距离分别为1，.