Question

15．某数学老师对所任教的两个班级各抽取30名学生进行测试，分数分布如表：

分数区间	4	5
[0，30）	0.1	0.2
[30，60）	0.2	0.2
[60，90）	0.3	0.4
[90，120）	0.2	0.1
[120，150]	0.2	0.1

（1）若成绩120分以上为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1人为优秀的概率；
（2）根据以上数据完成下面的2×2列联表，则犯错概率小于0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关？

	优秀	不优秀	总计
甲班	6	24	30
乙班	3	27	30
总计	9	51	60

参考公式：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
下面的临界值供参考：

k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

Answer 1

分析 （1）乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生有6人，记为A，B，C，D，E，F，其中成绩优秀的有3人，记为A，B，C，由此利用列举法能求出随机任取2名学生，恰有1人为优秀的概率．
（2）由题意，甲班有6人成绩为优秀，乙班有3人成绩为优秀，求出2×2列联表和K²≈1.176＜2.706．从而得到在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关．

解答 解：（1）乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生有6人，
记为A，B，C，D，E，F，其中成绩优秀的有3人，记为A，B，C，
从这6名学生中随机抽取2名的基本事件有：
$\begin{array}{l}\{A，B\}，\{A，C\}，\{A，D\}，\{A，E\}，\{A，F\}，\{B，C\}，\{B，D\}，\{B，E\}，\{B，F\}，\{C，D\}，\{C，E\}，\\ \{C，F\}，\{D，E\}，\{D，F\}，\{E，F\}\end{array}$
共15个．
设事件G表示恰有1人为优秀，
则G包含的事件有{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，
共9个．
所以随机任取2名学生，恰有1人为优秀的概率$P（G）=\frac{3}{5}$．
（2）由题意，甲班有6人成绩为优秀，乙班有3人成绩为优秀，2×2列联表如下：

	优秀	不优秀	总计
甲班	6	24	30
乙班	3	27	30
总计	9	51	60

∴${K^2}=\frac{{n{{（ac-bd）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}≈1.176＜2.706$．
在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关．

点评 本题考查概率的求法，考查独立检验的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．