Question

17．点O在△ABC内部，且满足4$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+6$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为15：11 

Answer 1

分析 可作$5\overrightarrow{OD}=6\overrightarrow{OC}$，从而可得到$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$，然后以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，并连接OE，设交BC于点N，这样画出图形，根据三角形的相似便可得出$\frac{ON}{NE}=\frac{5}{6}$，进而便可求出$\frac{AN}{ON}$的值，这样即可求出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}$的值，从而得出△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比值．

解答 解：作$5\overrightarrow{OD}=6\overrightarrow{OC}$，则$5\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OA}$；
∴$5（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}）=-4\overrightarrow{OA}$；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}$为邻边作平行四边形OAED，连接OE，交BC于N，如图所示：
$\overrightarrow{OE}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
∴$OE=\frac{4}{5}OA$；
根据三角形相似得，$\frac{ON}{NE}=\frac{5}{6}$，$\frac{ON}{OE}=\frac{5}{11}$；
∴$\frac{ON}{OA}=\frac{4}{11}$；
∴$\frac{ON}{AN}=\frac{4}{15}$；
∴$\frac{AN}{ON}=\frac{15}{4}$；
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}=\frac{15}{4}$；
∴△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为15：11．
故答案为：15：11．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，三角形相似的概念，以及三角形的面积公式．