Question

20．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k²成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）²成立”．那么，下列四个命题中，正确的是②③④．（填写命题序号）
①若f（2）＜4成立，则f（10）＜100；②若f（3）＞9成立，则当k≥4时，均有f（k）＞k²成立；③若f（4）≥25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k²成立；④若f（5）＜25成立，则f（1）≤1．

Answer 1

分析 “当f（k）≥k²成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）²成立”是一种递推关系，前一个数成立，后一个数一定成立，反之不一定成立．

解答 解：①，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f（2）＜4成立，则不一定f（10）＜100成立，故不正确；
②根据当f（k）≥k²成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）²成立，可得f（3）＞9成立，则当k≥4时，均有f（k）＞k²成立，正确；
③∵f（4）≥25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k²成立，故正确；
④命题的逆否命题是f（x）＞1，则f（5）≥25，正确，∴若f（5）＜25成立，则f（1）≤1，正确．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，解题时应弄清题目中命题的含义是什么，由此能推出什么结论，是基础题．