Question

3．已知函数f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是π，且当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值2．
（1）求f（x）的解析式，并作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得m的最小值．

解答 解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω=2．
又因为$x=\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值2．所以A=2，
同时$2×\frac{π}{6}+α=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，$α=2kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$，∵$-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}$∴$α=\frac{π}{6}$，
∴函数y=f（x）的解析式$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
∵x∈[0，π]，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}]$，列表如下：

$2x+\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{13π}{6}$
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	x
f（x）	1	2	0	-2	0	1

描点、连线得下图

（2）由已知得y=g（x）=f（x-m）=$2sin[2（x-m）+\frac{π}{6}]=2sin[2x-（2m-\frac{π}{6}）]$ 是偶函数，
所以$2m-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}（2k+1），k∈Z$，$m=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}，k∈Z$，
又因为m＞0，所以m的最小值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于基础题．