Question

7．已知函数f（x）=x³-9x+5．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与坐标轴围成三角形的面积；
（2）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2），f（2），求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数极值问题．

解答 解：（1）∵f'（x）=3x²-9，∴f'（2）=3．∵f（2）=-5，…（2分）
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+5=3（x-2），即y=3x-11．…（4分）
令x=0得y=-11；令y=0得$x=\frac{11}{3}$．故所求三角形的面积为$\frac{1}{2}×11×\frac{11}{3}=\frac{121}{6}$．…（6分）
（2）令f'（x）=0得$x=±\sqrt{3}$．…（7分）
令f'（x）＞0得$x＜-\sqrt{3}$或$x＞\sqrt{3}$；令f'（x）＜0得$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$．…（8分）
∴f（x）的增区间为$（-∞，-\sqrt{3}）$，$（\sqrt{3}，+∞）$，减区间为$（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．…（10分）
∴f（x）的极大值为$f（-\sqrt{3}）=5+6\sqrt{3}$，f（x）的极小值为$f（\sqrt{3}）=5-6\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题以及导数的应用，是一道中档题．