Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点F到直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距离为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，过点O，D的直线交椭圆于M、N两点（O为坐标原点），求四边形AMBN面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=1，即可求得a和c的值，由b²=a²-c²=1，即可求得b，求得椭圆C的方程；
（2）由题意可知设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得中点D坐标和弦长丨AB丨，求得直线OD的方程，代入椭圆方程，求得M和N点坐标，由点到直线的距离公式，求得点M和N到直线AB的距离d₁，d₂，由题意可知：S_AMBN=$\frac{1}{2}$丨AB丨+（d₁+d₂）=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1-\frac{1}{2+{m}^{2}}}$，由函数的单调性即可求得四边形AMBN面积的最小值．

解答 解：（1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=1，
解得：a=$\sqrt{2}$，c=1，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），
设直线AB的方程为x=my+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²+2my-1=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{-2m}{2+{m}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$，
由弦长公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•丨y₁-y₂丨=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
由中点坐标公式可知：y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{-m}{2+{m}^{2}}$，x₀=my₀+1=$\frac{-{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$+1=$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，
∴D（$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，$\frac{-m}{2+{m}^{2}}$），
直线OD的方程为y=-$\frac{m}{2}$x，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：x²=$\frac{4}{2+{m}^{2}}$，
M（$\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$，$\frac{-m}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$），N（$\frac{-2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$，$\frac{m}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$），
M到直线AB的距离d₁=$\frac{丨\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}+\frac{{m}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
N到直线AB的距离d₂=$\frac{丨-\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-\frac{{m}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∵M，N在直线AB的两侧，且MN关于原点对称，
∴S_AMBN=$\frac{1}{2}$丨AB丨+（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$•（$\frac{丨\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}+\frac{{m}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$+$\frac{丨-\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-\frac{{m}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$），
=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$，
∴S_AMBN=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1-\frac{1}{2+{m}^{2}}}$≥2，
综上所述，四边形AMBN面积的最小值2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，点到直线的距离公式及函数单调性的综合应用，考查计算能力，是高考常见的题型，属于难题．