Question

已知函数f（x）=x2+2alnx．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）当a≥0时，递增区间为(0，＋∞)；当a＜0时，递减区间是(0，)；递增区间是(，＋∞)；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：

解题思路：（Ⅰ）求定义域与导函数，因含有参数，分类讨论求出函数的单调区间；（Ⅱ）利用“函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立”，得到不等式恒成立；再分离参数，求函数的最值即可.

规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立.

试题解析：（Ⅰ）f′(x)＝2x＋＝， 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

②当a＜0时，f′(x)＝．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：

x	(0，)		(，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		极小值

 

由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞)．

（Ⅱ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，

由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，

即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立．

令h(x)＝－x2，在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0，

所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－，所以a≤－．

故实数a的取值范围为{a|a≤－}.

考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.根据函数的单调性求参数.