Question

16．已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-1|-a）
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若不等式f（x）≥2的解集为R，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式可得|x+1|+|x-1|＞3，把它转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，记得所求．
（2）由题意可得f（x）≥2恒成立，即|x+1|+|x-1|-a≥4 恒成立，利用绝对值三角不等式求得|x+1|+|x-1|的最小值为2，可得 2-a≥4，由此求得实数a的最大值．

解答 解：（1）当a=3时，函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-1|-a）=log₂（|x+1|+|x-1|-3），
∴|x+1|+|x-1|-3＞0，即|x+1|+|x-1|＞3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+1-x＞3}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x+1+（1-x）＞3}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+1+x-1＞3}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-$\frac{3}{2}$，解②求得x∈∅，解③求得x＞$\frac{3}{2}$，
故函数的定义域为{x|x＜-$\frac{3}{2}$，或x＞$\frac{3}{2}$}．
（2）若不等式f（x）≥2的解集为R，则f（x）≥2恒成立，
故|x+1|+|x-1|-a≥4．
∵|x+1|+|x-1|≥|x+1-（x-1）|=2，
∴2-a≥4，故有a≤-2，
故实数a的最大值为-2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于中档题．