Question

偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)＝f(x＋1)对一切x∈R恒成立，又当0≤x≤1时，f(x)＝－x²＋4．

①求证f(x)是周期函数，并确定它的周期；

②求当1≤x≤2时，f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

①证明：∵f(x)定义域为R且f(x－1)＝f(x＋1)， 　　∴f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋1－1)＝f(x)． 　　则f(x)的一个周期为2，且2n(n∈Z，n≠0)都是y＝f(x)的周期． 　　②解：设1≤x≤2，则－2≤－x≤－1， 　　因此，0≤2－x≤1， 　　由已知有：f(2－x)＝－(2－x)2＋4， 　　∵f(x)的周期为2，且为偶函数， 　　∴f(2－x)＝f(－x)＝f(x)． 　　∴当1≤x≤2时，f(x)＝－(2－x)2＋4．