如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.棱长为1.点P为线段A1C上的动点.则下列结论正确的①②④①当$\overrightarrow{{A 1}C}=3\overrightarrow{{A 1}P}$时.D1P∥平面BDC1,②当$\overrightarrow{{A 1}C}=3\overrightarrow{{A 1}P}$时.A1C⊥平面D1AP,③∠APD1的最大值为90°,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为1，点P为线段A₁C上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的①②④
①当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，D₁P∥平面BDC₁；
②当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，A₁C⊥平面D₁AP；
③∠APD₁的最大值为90°；
④AP+PD₁的最小值为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

分析利用三棱锥A-A₁B₁D₁的体积可知当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，P为A₁C与平面AB₁D₁的交点，根据平面AB₁D₁∥平面BDC₁可判断①，根据A₁C⊥平面AB₁D₁可判断②，根据等边三角形AB₁D₁可判断③，根据Rt△A₁AC≌Rt△A₁D₁C可判断④．

解答解：对于①，连结AB₁，B₁D₁，AD₁，则V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$，
S${\;}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A₁C=$\sqrt{3}$，
设A₁到平面AB₁D₁的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×h$=$\frac{1}{6}$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{1}{3}$A₁C．
∴当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，P为A₁C与平面AB₁D₁的交点．
∵平面AB₁D₁∥平面BDC₁，
∵D₁P?平面AB₁D₁，∴D₁P∥平面BDC₁，故①正确；
对于②，由①可知P∈平面AB₁D₁，
∵A₁C⊥平面AB₁D₁，∴A₁C⊥平面D₁AP，故②正确；
对于③，由①可知当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，P为等边△AB₁D₁的中心，
∴∠APD₁=120°，故③错误；
对于④，连结AC，D₁C，则Rt△A₁AC≌Rt△A₁D₁C，∴AP=D₁P，
∴AP的最小值为$\frac{A{A}_{1}•AC}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴AP+PD₁的最小值为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．故④正确．
故答案为：①②④．