Question

12．如图，在平面直角坐标系中，边长为a_n的一组正三角形A_nB_n-1B_n的底边B_n-1B_n依次排列在x轴上（B₀与坐标原点重合）．设{a_n}是首项为a，公差为2的等差数列，若所有正三角形顶点A_n在第一象限，且均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则a的值为2．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式、等边三角形的性质即可得出．

解答 解：由题意可得：{a_n}是首项为a，公差为2的等差数列，
∴a_n=a+2（n-1）．
∴a₁=a=OB₁，∵△A₁B₀B₁是等边三角形，∴${x}_{{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}a$，${y}_{{A}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
同理可得：B₁B₂=a₂=a+2，${x}_{{A}_{2}}$=a+$\frac{1}{2}（a+2）$=$\frac{3a+2}{2}$，${y}_{{A}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}（a+2）}{2}$．
A₁$（\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}）$，A₂$（\frac{3a+2}{2}，\frac{\sqrt{3}（a+2）}{2}）$，
∴$\frac{3}{4}{a}^{2}$=2p×$\frac{a}{2}$，$（\frac{\sqrt{3}（a+2）}{2}）^{2}$=2p×$\frac{3a+2}{2}$，
解得a=2，p=$\frac{3}{2}$．
故答案为：2．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．