Question

1．已知椭圆C的焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），长轴长为2$\sqrt{5}$，设直线y=2x-2交椭圆C于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆长轴长求出a，焦点坐标求出c，然后求解椭圆的半短轴长，即可得到椭圆的标准方程．
（2）流量直线与椭圆方程，通过弦长公式，以及点到直线的距离公式求出距离，然后求解三角形的面积．

解答 解：（ 1）由长轴长为$2\sqrt{5}$，所以$a=\sqrt{5}$，又由c=1
得：b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，所以b=2，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由（1）可知椭圆方程为 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$①，
∵直线AB的方程为y=2x-2   ②
把②代入①得化简并整理得3x²-5x=0
∴${x_1}+{x_2}=\frac{5}{3}，{x_1}{x_2}=.0$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{5\sqrt{5}}}{3}$，坐标原点到直线的距离为：$d=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
∴$s=\frac{1}{2}×\frac{{5\sqrt{5}}}{3}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=\frac{5}{3}$．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．