Question

10．设正实数x，y满足x+y=1，则x²+y²+$\sqrt{xy}$的取值范围为$[1，\frac{9}{8}]$．

Answer 1

分析 正实数x，y满足x+y=1，可得$0＜xy≤\frac{1}{4}$．则x²+y²+$\sqrt{xy}$=1-2xy+$\sqrt{xy}$，-2xy+$\sqrt{xy}$=-2$（\sqrt{xy}-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{8}$，即可得出．

解答 解：∵正实数x，y满足x+y=1，
∴1$≥2\sqrt{xy}$，可得$0＜xy≤\frac{1}{4}$．
则x²+y²+$\sqrt{xy}$=1-2xy+$\sqrt{xy}$，∵-2xy+$\sqrt{xy}$=-2$（\sqrt{xy}-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{8}$∈$[0，\frac{1}{8}]$．
故x²+y²+$\sqrt{xy}$的取值范围为$[1，\frac{9}{8}]$．
故答案为：$[1，\frac{9}{8}]$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．