Question

20．在棱长为2R的无盖立方体容器内装满水，先将半径为R的球放入水中然后再放入一个球，使它完全浸入水中，要使溢出的水量最大，则此球的半径是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$-1）R
• B． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$R
• C． （2-$\sqrt{3}$）R
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$R

Answer 1

分析 先画出过正方体对角面的截面图，设小球的半径r，通过AS=AO₁+O₁S建立等式，求出r即可求出要使流出来的水量最多时这个铁球的半径．

解答 解：过正方体对角面的截面图如图所示，设两球的交点为S，
AC₁=2$\sqrt{3}$R，AO=$\sqrt{3}$Q，AS=AO-OS=（$\sqrt{3}$-1）R，
设小球的半径r，tan∠C₁AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△AO₁D中，AO₁=$\sqrt{3}$r，
∴AS=AO₁+O₁S，
∴（$\sqrt{3}$-1）R=$\sqrt{3}$r+r．
解得：r=（2-$\sqrt{3}$）R为所求．
要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为（2-$\sqrt{3}$）R．
故选：C．

点评 本题考查球与多面体相切问题，解决此类问题必须做出正确的截面（即截面一定要过球心），再运用几何知识解出所求量．