Question

8．（文科学生做）已知函数f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx．
（1）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间；
（2）若f（θ）=-$\frac{6}{5}$（0＜θ＜π），求sinθ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用辅助角公式将函数化简，整体代入求出其单调增区间；
（2）将f（θ）=-$\frac{6}{5}$代入（1）中化简的函数里，得到关于θ的方程，利用0＜θ＜π判断其取值情况，求出sinθ．

解答 解：由题意得：
（1）f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
所以当$-\frac{π}{2}+2kπ≤$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
所以$-\frac{π}{6}+2kπ$≤x$≤\frac{5π}{6}+2kπ$，（k∈Z），
又因为x∈（0，π），
所以增区间为（0，$\frac{5π}{6}$）；
（2）因为f（θ）=-$\frac{6}{5}$（0＜θ＜π），
所以由（1）可知，2sin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，
所以sin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
又因为0＜θ＜π，
所以-$-\frac{π}{3}＜$θ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
所以cos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
所以sinθ=sin（$θ-\frac{π}{3}+\frac{π}{3}$）=sin（$θ-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（$θ-\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
所以sinθ=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

点评 （1）本题考察学生对辅助角公式，较易；难点三角函数单调性的求解，需要学生对整体代入法能熟练掌握；
（2）本题难点及解题关键是利用已知条件构造出和差公式形式，需要学生灵活应用公式．