Question

如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线L与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：
（Ⅰ）∠BAC=CAG；
（Ⅱ）AC²=AE•AF．

Answer 1

分析：（I）由圆周角定理的推论2，我们易判断∠BCA为直角，结合弦切角定理，及直线L与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，我们易结合等角的余角相等得到答案．
（II）由弦切角定理得∠ACE=∠AFC，结合（I）的结论，可得到△ACF∽△AEC，由三角形相似的性质，即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AGC=90°．（2分）
∵GC切圆O于C，
∴∠GCA=∠ABC．（4分）
∴∠BAC=∠CAG．（5分）
（Ⅱ）连接CF，∵EC切圆O于C，∴∠ACE=∠AFC．（6分）
又∠BAC=∠CAG，∴△ACF∽△AEC．（8分）
∴

AC

AE

=

AF

AC

，∴AC²=AE•AF（10分）

点评：本题考查的知识点是圆的切线的性质，弦切角定理，圆周角定理，其中分析角与角之间的关系时，与圆相关的要首先考虑圆周角定理，有切线的必要考虑弦切角．