Question

6．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
（1）求|$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）求2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用模长平方与向量的平分相等，将已知|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$两边平方展开，得到关于|$\overrightarrow{b}$|的方程解之即可；
（2）分别求出2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$模长以及数量积，利用数量积公式求夹角．

解答 解：（1）由已知|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=13，展开得到9${\overrightarrow{a}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}=13$，所以4|$\overrightarrow{b}$|²-6|$\overrightarrow{b}$|-4=0，解得|$\overrightarrow{b}$|=2；
（2）由已知得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，所以（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=4，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=13，
所以|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$，且（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+2${\overrightarrow{b}}^{2}$-5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2+8-5=5；
所以2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为：$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{5}{2×\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$．

点评 本题考查了数量积公式的运用；由数量积公式得到向量的模长平方与向量的平方相等，得到关于模长的方程解之．