Question

如图，三定点A(2,1),B（0，－1），C（－2，1）；三动点D,E,M满足= t,,，

（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围；

（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.

Answer 1

解法一：如图

（Ⅰ）设D（x_D，y_D），E(x_C，y_C)，M(x，y).

由，知（x_D－2，y_D－1）=t(－2，－2).

∴同理

∴k_DC=.

∵t∈［0，1］.       

∴k_DC∈［－1，1］.

（Ⅱ）∵.

∴（x+2t－2，y+2t－1）=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)

                     =t(－2，4t－2)=(－2t，4t²－2t)，

∴∴，

即x²=4y.

∵t∈［0，1］，

∴x=2(1－2t)∈［－2，2］.

即所求轨迹方程为  x²=4y，x∈［－2，2］.

解法二：(Ⅰ)同上.

（Ⅱ）如图.

，

     =（1－t）²

设M点坐标为(x，y)，由得

=

消去t得  x²=4y.

∵t∈［0，1］，∴x∈［－2，2］.    

故轨迹方程是  x²=4y，  x∈［－2，2］