Question

9．在平面直角坐标系中，点P为曲线C上任意一点，且P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）点M为曲线C上一点，过点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点，过点F且与AB垂直的直线l与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C为抛物线，即可求曲线C的轨迹方程；
（2）求出直线AB的斜率，可得直线DE的方程，利用抛物线的定义建立方程，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-1的距离相等
∴由抛物线的定义得曲线C为抛物线，$\frac{p}{2}$=1
∴轨迹方程为：y²=4x．　
（2）设M（x₀，y₀），直线MA的斜率为k，直线MB的斜率为-k，k≠0，
直线MA的方程为y-y₀=k（x-x₀），将y²=4x代入整理得到ky²-4y+4y₀-4kx₀=0，
则y_A=$\frac{4}{k}$-y₀，
又y_A-y₀=k（x_A-x₀），整理得到x_A=$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{2{y}_{0}}{k}+{x}_{0}$，
将其中的k换成-k，得到x_B=$\frac{4}{{k}^{2}}$+$\frac{2{y}_{0}}{k}+{x}_{0}$，y_B=-$\frac{4}{k}$-y₀，
那么直线AB的斜率k=-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
∴直线DE的斜率为$\frac{{y}_{0}}{2}$，方程为y=$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-1），
代入y²=4x，可得${{y}_{0}}^{2}{x}^{2}-（2{{y}_{0}}^{2}+16）x+{{y}_{0}}^{2}$=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
∵|DE|=8，
∴2+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$+2=8，
∴y₀=±2，x₀=1，∴M（1，±2）．

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．