Question

已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．
（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；
（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程．

Answer 1

（1）AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，所以直线AC的方程为：x=0，
又直线CD的方程为：2x-2y-1=0，联立得

x=0 2x-2y-1=0

解得

x=0 y=- 1 2

，所以C(0，-

1

2

)，
设B（b，0），则AB的中点D(

b

2

，

1

2

)，代入方程2x-2y-1=0，解得b=2，所以B（2，0）；
（2）由A（0，1），B（2，0）可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0，
注意到BP也是圆M的弦，所以，圆心在直线x=

m+2

2

上，
设圆心M坐标为(

m+2

2

，n)，
因为圆心M在直线4x-2y-3=0上，所以2m-2n+1=0①，
又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以k_MP=-1，
即

n

m+2 2 -m

=-1，整理得m-2n-2=0②，
由①②解得m=-3，n=-

5

2

，
所以，圆心M(-

1

2

，-

5

2

)，半径MA=

1 4 + 49 4

=

50

2

，
则所求圆方程为(x+

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

50

4

，化简得x²+y²+x+5y-6=0．