题目内容
8．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^6}$≥27．分析 由正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，运用三元均值不等式，可得ab2c3≤$\frac{1}{27}$，再由均值不等式即可得证．
解答 证明：因为正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，
所以$1≥3\root{3}{{a{b^2}{c^3}}}$，即$a{b^2}{c^3}≤\frac{1}{27}$，
所以$\frac{1}{{a{b^2}{c^3}}}≥27$，
因此$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^6}≥3\root{3}{{\frac{1}{{{a^2}{b^4}{c^6}}}}}≥27$．
点评 本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
手拉手全优练考卷系列答案
相关题目
19．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）
| A． | 直线AA1 | B． | 直线A1B1 | C． | 直线A1D1 | D． | 直线B1C1 |
3．
今年暑假期间，雅礼中学组织学生进社区开展社会实践活动．部分学生进行了关于“消防安全”的调查，随机抽取了50名居民进行问卷调查，活动结束后，对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如表：
（1）求上表中的m、n的值，并补全如图所示的频率分布直方图；
（2）在被调查的居民中，若从年龄在[10，20），[20，30）的居民中各随机选取1人参加消防知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率．
今年暑假期间，雅礼中学组织学生进社区开展社会实践活动．部分学生进行了关于“消防安全”的调查，随机抽取了50名居民进行问卷调查，活动结束后，对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如表：| 年龄（岁） | [10，20） | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70] |
| 频数 | m | n | 14 | 12 | 8 | 6 |
| 知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
（2）在被调查的居民中，若从年龄在[10，20），[20，30）的居民中各随机选取1人参加消防知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率．