Question

设数列满足为实数

（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；

（Ⅱ）设，证明：;

（Ⅲ）设，证明：

Answer 1

（Ⅰ）必要性 ： ，

                 又  ，即

充分性 ：设  ，对用数学归纳法证明

        当时，.假设

        则，且

，由数学归纳法知对所有成立

    （Ⅱ） 设 ，当时，，结论成立

         当 时，

         

          ,由（1）知，所以  且   

         

         

         

（Ⅲ）设 ，当时，，结论成立

 当时，由（2）知

 ．

解析:

（Ⅰ）必要性 ： ，

                 又  ，即

充分性 ：设  ，对用数学归纳法证明

        当时，.假设

        则，且

，由数学归纳法知对所有成立

    （Ⅱ） 设 ，当时，，结论成立

         当 时，

         

          ,由（1）知，所以  且   

         

         

         

（Ⅲ）设 ，当时，，结论成立

 当时，由（2）知

 ．