Question

9．命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x²-mx+2满足$f（\frac{3}{2}+x）=f（\frac{3}{2}-x）$，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：由关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是空集，可得△≤0，解得p的取值范围．由已知得二次函数f（x）=x²-mx+2的对称轴为$x=\frac{3}{2}$，可得m，可得f（x）=x²-3x+2，当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知a的取值范围．由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．

解答 解：对于命题p：∵关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是空集，
∴△=-3a²-2a+1≤0，解得$p：a≤-1\;或a≥\frac{1}{3}$，
由已知得二次函数f（x）=x²-mx+2的对称轴为$x=\frac{3}{2}$，
即$-\frac{-m}{2}=\frac{3}{2}$，∴m=3，f（x）=x²-3x+2，
当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知q：0＜a≤3．
由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．
当p真q假时，$\left\{{\begin{array}{l}{a≤-1\;或a≥\frac{1}{3}}\\{a≤0\;或a＞3}\end{array}}\right.$，∴a≤-1或a＞3，
当p假q真时，$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜a＜\frac{1}{3}}\\{0＜a≤3}\end{array}}\right.$，∴$0＜a＜\frac{1}{3}$，
综上可得，$a∈（-∞，-1]∪（0，\frac{1}{3}）∪（3，+∞）$．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解法、二次函数的单调性和对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．