Question

2．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B-PADE的体积是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；
（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．

Answer 1

分析 （1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；
（2）连接AE，则∠BEA为所要求的角，根据棱锥的体积计算AB，利用勾股定理计算AE，则tan∠BEA=$\frac{AB}{AE}$．

解答 解：（1）延长PE交AC于F
∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，
∵DE⊥平面ABC，
∴DE∥PA，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{DE}{PA}=\frac{1}{2}$，
∴F与C重合．
∵C∈PE，C∈AC，PE?平面PBE，AC?平面ABC，
∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，
又B是平面PBE和平面ABC的公共点，
∴BC是面PBE与面ABC的交线．
（2）连接AE，
∵AP、AB、AC两两互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA为BE与平面PAD所成的角，
∴V_B-PADE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ADEP}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（1+2）×1×AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
又∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴tan∠BEA=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴BE与面PADE所成的线面角为arctan$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了平面的性质，线面角的计算，属于中档题．