Question

20．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₆=S₆=-3；数列{b_n}满足：b_n+1=2b_n，b₂+b₄=20．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}={2^{a_n}}$，求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，从而可得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+5d=-3}\\{6{a_1}+15d=-3}\end{array}}\right.$，从而求a_n，再由等比数列的通项公式求b_n；
（2）化简${c_n}={2^{3-n}}=\frac{8}{2^n}$，从而可得数列{c_n}是首项为4，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，从而求前n项和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+5d=-3}\\{6{a_1}+15d=-3}\end{array}}\right.$，
解得，$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=-1}\end{array}}\right.$；
∴a_n=2-（n-1）=3-n；
∵b_n+1=2b_n，
∴数列{b_n}是公比为2的等比数列，
∵b₂+b₄=2b₁+8b₁=20，
∴b₁=2，
∴${b_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}$；
（2）∵${c_n}={2^{3-n}}=\frac{8}{2^n}$，
∴$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}=\frac{1}{2}$，
∴数列{c_n}是首项为4，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴${T_n}=\frac{{4（1-（\frac{1}{2}{）^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=8（1-{2^{-n}}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及通项公式与前n项和公式的应用．