Question

已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=-f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x²，函数g（x）=

log3(x-1)(x＞1) 2x(x≤1)

，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点，即函数f（x）与函数g（x）图象在区间[-5，5]内的交点的横坐标，画出两个函数的图象，数形结合，可得答案．

解答： 解：∵定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
故函数的周期为2，
又由当-1≤x＜1时，f（x）=x²，函数g（x）=

log3(x-1)(x＞1) 2x(x≤1)

，
故函数f（x）与函数g（x）图象如下图所示：

由图可得：两个函数图象在区间[-5，5]内共有8个交点，
故函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点个数为8，
故答案为：8

点评：本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．