Question

已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5．

(1)求直线PQ与圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，l与圆C交于点A、B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)直线PQ的斜率为，由直线PQ过点Q(－1，3)，所以直线PQ的方程为y－3＝－(x＋1)即x＋y－2＝0　　1分 　　因为圆C经过P、Q两点，故其圆心C在线段PQ的中垂线l1上，线段PQ的中点N的坐标为()，而kl1＝1，故直线l2的方程为　　2分 　　故可设圆心C的坐标为(m，m－1)，并设其半径为　　3分 根据题意，圆C在Y轴上截得的线段为4．故有r2＝(2)2＋m|2　②　　4分 　　由①②得：． 　　当 　　 　　所以所求圆的方程为　　6分 　　(2)因为直线l∥PQ，所以设直线l的方程为x＋y＋n＝0　　7分 　　将直线l的方程和圆C的方程联立得， 　　消去　　8分 　　设，则由根与系数的关系可得：　③　　9分 　　因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，所以OA⊥OB，故有x1x2＋y1y2＝0　　10分 　　即． 　　将③式代入上式并整理得：　　11分 　　经检验知，均符合题意，所以直线l的方程为　　12分