Question

直线x+y+

2

=0截圆x²+y²=4所得劣弧所对圆心角为

 

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，过O作OC垂直于弦AB，先利用点到直线的距离公式求出圆心O到已知直线的距离|OC|的长，在直角三角形OBC中，由直角边|OC|的长等于斜边|OB|的一半，得到线段OC所对的∠OBC为

π

6

，再根据等边对等角得到三角形AOB的两底角相等，根据三角形的内角和定理即可求出直线截圆所得劣弧所对圆心角∠AOB的度数．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示，
过O作OC⊥直线AB，则C为弦AB的中点，
∵圆心（0，0）到直线x+y+

2

=0的距离|OC|=

2

2

=1，
在Rt△OBC中，由半径|OB|=2，|OC|=1，
得到|OC|=

1

2

|OB|，故∠OBC=

π

6

，
又|OA|=|OB|，∴∠OAC=∠OBC=

π

6

，
则直线截圆所得劣弧所对圆心角∠AOB=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，用到的知识有直角三角形的性质，等腰三角形的性质，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常做出弦心距，利用弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形来解决问题．