Question

5．如图，过椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|=$\sqrt{2}$+1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）C，D为E上的两点，若四边形ACBD（A，C，B，D逆时针排列）的对角线CD所在直线的斜率为k，求四边形ACBD面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由AB∥OP，得$\frac{{b}^{2}}{ac}$=$\frac{b}{a}$，可得a与c，b与c的关系，结合|AF|=a+c=（$\sqrt{2}$+1）c=$\sqrt{2}$+1求得c，则a，b可求，椭圆E的方程可求；
（2）由题意设出CD所在直线方程，再设出C，D的坐标，联立直线方程与椭圆方程，求出C，D的横坐标，把四边形ACBD面积S化为C，D的横坐标的关系，进一步化为CD的斜率的函数，利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）设焦距为2c，则P（-c，$\frac{b2}{a}$）．
由AB∥OP，得$\frac{{b}^{2}}{ac}$=$\frac{b}{a}$，则b=c，a=$\sqrt{2}$c，
∴|AF|=a+c=（$\sqrt{2}$+1）c，又|AF|=$\sqrt{2}$+1，
则c=1，b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由题意可设CD：y=kx，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距离分别为d₁，d₂，
将y=kx代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，则x₁=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$．
由A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1）得|AB|=$\sqrt{3}$，且AB：x+$\sqrt{2}$y-$\sqrt{2}$=0，
d₁=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，d₂=-$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
S=$\frac{1}{2}$|AB|（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$[（x₁-x₂）+$\sqrt{2}$（y₁-y₂）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$k）（x₁-x₂）=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
S²=2（1+$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），因为1+2k²≥2$\sqrt{2}$k，当且仅当2k²=1时取等号，
∴当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．