Question

4．已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，则cos2α=-$\frac{33}{65}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）和cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]的值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$，
∵sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，∴cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=-$\frac{4}{5}$，
则cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α-β）sin（α-β）
=-$\frac{4}{5}$•$\frac{12}{13}$-$\frac{5}{13}$•（-$\frac{3}{5}$）=$-\frac{33}{65}$，
故答案为：-$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．