Question

4．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c+b）（sinC-sinB）=a（sinA-sinB）．若c=2$\sqrt{3}$，则a²+b²的取值范围是（20，24]．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理，余弦定理可求C的值，进而由正弦定理可得a=4sinA，b=4sinB，令A=60°+α，B=60°-α，（0°≤α＜30°），利用三角函数恒等变换的应用化简可得a²+b²=16（1+$\frac{1}{2}$cos2α）的值，由范围0°≤2α＜60°，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．

解答 解：∵（c+b）（sinC-sinB）=a（sinA-sinB）．若c=2$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理$（c+b）（c-b）=a（a-b）⇒{c^2}={a^2}+{b^2}-ab⇒cosC=\frac{1}{2}⇒C=60°⇒A+B=120°$．
∴由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R=\frac{c}{sinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{sin60°}=4⇒a=4sinA，b=4sinB$，
令A=60°+α，B=60°-α，（0°≤α＜30°），
∴a²+b²=16（sin²A+sin²B）=16[sin²（60°+α）+sin²（60°-α）]
=16[（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$α+\frac{1}{2}sinα$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）²]
=16（$\frac{3}{2}$cos²α+$\frac{1}{2}$sin²α）=16（$\frac{3}{2}$×$\frac{1+cos2α}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{1-cos2α}{2}$）=16（1+$\frac{1}{2}$cos2α），
∵0°≤2α＜60°，
∴$\frac{1}{2}＜cos2α≤1$，
∴从而有20＜a²+b²≤24．
故答案为：（20，24]．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．