Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2cos（B-C）-1=4cosBcosC．
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求b+c．

Answer 1

分析 （1）利用角恒等变换，化简已知等式可得cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，结合三角形内角的范围算出B+C=$\frac{2π}{3}$，再利用三角形内角和即可得到A的大小；
（2）根据三角形面积公式可求bc的值，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入数据化简可得（b+c）²-3bc=7，两式联立可算出b+c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2cos（B-C）-1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）-1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1，可得2cos（B+C）=-1，
∴cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=$\frac{2π}{3}$．
∴A=π-（B+C）=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由（1），得A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$，
∴得bc=6．①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：7=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，即b²+c²-bc=7
∴（b+c）²-3bc=7                        ②
将①代入②，得（b+c）²-18=7，可得：（b+c）²=25，得b+c=5．…（12分）．

点评 本题给出三角形的角满足的条件，求A的大小，并在已知三角形面积的情况下求边长．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于基础题．