Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+alnx+4（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间l
（2）当a=2时，函数y=f（x）在[eⁿ，+∞]（n∈Z）有零点，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调性，取特殊值，求出n的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$＜0，
∵x＞0，∴x²-（a+1）+a＜0，即（x-a）（x-1）＜0，
当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）递减，a＞1时，f（x）在（1，a）递减，a=1时，不存在递减区间；
（2）a=2时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx+4，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）极大值=f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，f（x）极小值=f（2）=2ln2＞0，
故n∈N时，f（x）在[eⁿ，+∞）内不存在零点，
当n=-1时，f（e^-1）=$\frac{2e-3}{e}$+$\frac{1}{{2e}^{2}}$＞0，
n=-2时，f（e^-2）=$\frac{1-{6e}^{2}}{{2e}^{4}}$＜0，
故在[e^-2，e^-1]内存在一零点，
故函数f（x）在[eⁿ，+∞），（n∈Z）有零点时，n的最大值是-2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的意义以及分类讨论思想，是一道中档题．